随着分析学中对函数引入微分运算，代表未知函数导数和自变量之间关系的方程进入了数学家的视野，这就是微分方程。微分方程的形成和发展与力学、天文学、物理学等科学技术的发展密切相关。因为在现实世界中，物质的运动及其变化规律是用函数关系来进行数学描述的，也就是说问题的求解就是寻求满足一定条件的函数，这样的问题就转化为求解微分方程。微分方程为科学发现提供了强有力的工具，例如：
牛顿利用微分方程研究天体力学和机械力学，从理论上得出行星运动规律。英国天文学家亚当姆斯和法国天文学家勒维烈利用微分方程发现了海王星。解微分问题的基本思路类似于解代数方程。需要找出问题中已知函数与未知函数之间的关系，进而得到一个或几个包含未知函数的方程。然后，未知函数的表达式可以通过解析方法得到。
微分方程的发展：
苏格兰数学家奈普尔在创立对数时，讨论了微分方程的近似解。牛顿用级数解简单微分方程；瑞士数学家雅各布伯努利、欧拉，法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人不断研究和丰富微分方程理论；复变函数、李群和组合拓扑等数学分支的新发展深刻地影响了微分方程的发展。它成为计算机微分方程应用和理论研究的有力工具。常微分方程如果一个微分方程中的未知函数只包含一个自变量，那么这个微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解构成一个函数族，主要研究方程或方程的分类和求解，解的存在唯一性，奇异解，定性理论等。
常微分方程的发展经历了几个阶段：
把通解作为微分方程的主要目标，因为只要得到通解的表达式，解的性质等问题就迎刃而解了。实际研究发现，大多数情况下找不到通解，于是研究重点转移到了定解上。解微分方程的基本问题：解的存在唯一性定理；因为大部分常微分方程都找不到解析解，只能找到近似解。现在，常微分方程在自动控制、各种电子器件的设计、弹道计算、飞行器和导弹的稳定性研究、化学反应过程的稳定性等领域都有重要的应用。
偏微分方程如果未知多元函数的偏导数出现在一个微分方程中，那么这就是一个偏微分方程。偏微分方程作为一门学科产生于18世纪，当时研究的是振弦问题。随着科技的飞速发展，更多的问题无法用一个只有一个自变量的函数来描述，而用一个有多个变量的函数来描述更合适。
欧拉首先提出弦振动的二阶方程；法国数学家达朗贝尔在《论动力学》年也提出了一个特殊的偏微分方程。1746年，在论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中提出证明无限种不同于正弦曲线的曲线是振动模态；瑞士数学家丹尼尔伯努利通过研究数学物理中的问题，提出了理解弹性系统振动的一般方法。讨论了拉格朗日一阶偏微分方程。19世纪，偏微分方程发展迅速，数学物理问题研究繁荣。许多数学家为解决数学物理问题做出了贡献。尤其是法国数学家傅立叶，他在《论热传导》《热的解析理论》篇论文中提出了一个偏微分方程——三维空间的热方程。
偏微分方程是什么样的？它包括什么？有许多类型
作为同一类现象共同规律的表达，偏微分方程一般有无穷多个解，具体物理问题的求解必须根据附加条件进行选择。就物理现象而言，每个具体问题的特殊性在于研究对象的初始和边界条件。
初始条件和边界条件称为定解条件。偏微分方程本身表达的是同一类物理现象的共性，是解决问题的基础。求解条件反映了具体问题的个性和问题的具体情况；那么方程和定解条件的组合就叫做定解问题。
求偏微分方程的定解，可以先求其通解，再利用定解条件求函数。但一般来说，在实际中，求通解并不容易，用确定的解条件确定函数就更难了。偏微分方程定解的公共解：
分离系数法，也称为傅立叶级数，可用于求解有界空间中的定解问题。分离变量法，也叫傅立叶变换或傅立叶积分，可以用来求解无界空间的定解问题。拉普拉斯变换法用于求解一维空间的数学物理方程的定解：通过拉普拉斯变换，将方程化为常微分方程，然后求解常微分方程，再进行反演。很多偏微分方程的定解是不能严格求解的。退而求其次，用近似的方法找到符合实际需要的近似解。常用的方法有变分法和有限差分法：变分法是将一个定解问题转化为一个变分问题，然后求变分问题的近似解；有限差分法是将定解问题转化为代数方程，然后用计算机进行计算。
随着物理科学研究范围和深度的扩大，偏微分方程的应用范围也更广。从数学的角度来看，偏微分方程的求解推动了函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等学科的发展。从这个角度看，偏微分方程成为数学的中心。
