本文转自环球科学科学美国人微信官方账号。
关注微信：多多数学网每天获取更多有趣的数学文章。新浪微博：http://weibo.com/duodaa's不断旋转的立方体，每边相连的丝带必须经过两次完整的旋转才能恢复原状。组成物质的粒子，如电子和夸克都遵循这一运动规律，一类名为“四元数”的四维空间数也表现出类似的性质。(图片来源：杰森海斯/YouTube)
19世纪发现的四元数永远地改变了物理学和数学，它给了数学家一种新的方法来描述空间的旋转。执笔|查理伍德翻译|潘磊修改|如果杨新洲把指向3点的时针转回12点，会经历怎样的过程？数学家们早就知道如何将这种旋转简化为乘法运算：用一个数来表示时针在平面上的初始位置，然后乘以另一个常数。那么用同样的技术来描述三维空间中的旋转是否可行呢？常识是可以的，但是19世纪最杰出、最多产的数学家之一——威廉哈密顿花了十几年的时间时间才找到描述三维空间旋转的数学概念。数学中只有四个数精确地遵循标准算法的近似模拟，汉密尔顿的解是第三个，这也促进了近代代数的兴起。
威廉哈密顿图片来源：维基百科定义三维乘法的第一个数字系统是实数系统。实数包括我们中学学过的所有数字，比如-3.7，42；这一系列数字可以从最小到最大排序。文艺复兴时期的代数学家偶然发现了可用于加减乘除的第二种数字系统。如果想让某些方程有解，就必须引入一个新的数——虚数I，一个在实数系中根本不存在的数。如果把实数想象成一条直线，那么第二个数系就是进入“复平面”的一步。在这个平面世界里，“复数”代表箭头一样的向量，可以通过加减滑动，也可以通过乘除旋转拉伸。在经典力学和量子力学中，有一种与哈密顿量同名的算法，叫做“哈密顿函数”。这位爱尔兰数学家曾希望通过增加一个假想的J轴来从复平面转换到三维空间。但是三维空间中的一些奇特性质推翻了汉密尔顿想到的一个又一个系统。”他一定尝试了成千上万次，但没有一个系统成功.”加州大学河滨分校的数学家约翰贝兹感慨地说。问题出在乘法上。在复平面上，矢量的旋转是通过乘法实现的。无论汉密尔顿在三维空间中如何定义乘法，都无法使相应的除法重现有意义的结果。要理解三维旋转为何如此复杂，你可以将旋转方向盘与旋转地球仪进行比较：方向盘周围的所有点都以相同的方式一起运动，因此它们的矢量只需乘以相同的(复数)数；但是，地球仪(球体)上的点在赤道附近速度最快，越往两极越慢。更重要的是，两极之间不会有运动。贝茨解释说，如果三维旋转和二维一样，理论上所有点都会移动。四元数的诞生1843年10月16日，汉密尔顿脑海中出现了一个惊人的解。兴奋的汉密尔顿立即将相关方程式刻在了都柏林的金雀花桥上。只要把球体放在更高维度，它的旋转就会更接近二维运动。首先我们需要三个虚轴I，J，K，加上一个实轴A，来定义四维空间的向量。汉密尔顿将这类新的数命名为“四元数”。到夜幕降临时，他已经勾勒出三维矢量旋转的概貌：简洁的四元数可以表示这些复杂的旋转，其中只需要一个实数A等于0和三个虚数I、J、K。同时，他把代表三个方向的虚数称为“矢量”。旋转一个三维矢量相当于乘以一个有序四元数，这个四元数包含了旋转方向和角度的信息。
金雀花桥(上图，来源：维基百科)和刻在桥上的汉密尔顿方程(下图，来源：加州大学河滨分校)。所有对实数和复数有效的运算都可以作用于四元数，除了一个很难调和的区别。在实数系中，32等于23，但在四元数系中，乘法的阶是不可交换的。虽然四元数可以有效的描述真实物体的旋转，但是数学家们从来没有在数系中发现过这么奇怪的性质。比如把手机面朝上水平放置；让它向左转90度，然后把它转离你。注意此时你手机的摄像头朝向；然后回到原来的位置，将手机转向远离你的方向，然后向左转动，观察当前的方向。为什么现在的摄像头指向右边？这种令人惊讶的现象，即不可交换性，被证明是四元数和实在共有的特性。但是在新的数字系统中潜伏着一个问题。当手机或矢量以任何方式旋转360时，但在四维空间中，四元数只描述其旋转180。你需要两次完整的旋转才能让代表手机位置的四元数或者向量空间回到原来的状态。(只翻转一次，四元数的符号就会相反，因为虚数的平方是-1)反矢量会产生假负信号，可能会严重损坏物理系统。因此，在汉密尔顿把发现刻在桥上的近四十年后，物理学家们互相争论，以阻止四元数成为描述旋转的标准。当耶鲁大学教授乔赛亚吉布斯(Josiah Gibbs)定义现代向量时，阻力爆发了。确定第四维是很麻烦的。吉布斯通过完全删除变量A简化了汉密尔顿的发现：吉布斯得到的四元数系保留了I、J、k三个符号，没有实变量A，四元数乘法被简化拆分成独立的向量乘法，即现在每个数学物理专业的学生本科都会学的点乘(量积)和叉积(叉积)。汉密尔顿的一些支持者把新系统视为“怪物”，现代向量的倡导者则贬低四元数是“无理纠缠”和“纯粹的邪恶”。争论在期刊和书籍上持续了很多年，最后现代vector凭借其易用性取得了胜利。四元数的新应用本来会随着新系统的应用而逐渐消失，但是量子力学在20世纪20年代才显露出它的真实身份。对于传递力的光子和其他粒子(玻色子)来说，一圈是正常的360；但是组成物质的电子和其他粒子(费米子)需要旋转两周才能回到原来的位置。汉密尔顿建立的数系一直描述这些类似费米子的未被发现但真实存在的物质性质，现在称之为“旋量”。但物理学家在日常计算中从不使用四元数，因为基于矩阵理论，发展了一种求解复杂旋量的替代运算方法。直到最近几十年，四元数才有了复苏的迹象。它们不仅应用于计算机图形学，而且作为计算旋转的有效工具存在于高维空间复杂曲面的几何领域。Hyperk hler流形是一类特殊的曲面，可以在向量群和螺旋群之间可逆地切换。3354统一了向量代数战争的双方。超级凯勒流形有独特的魅力，因为矢量总是描述玻色子的运动，而螺旋只描述费米子的运动。物理学家对超级凯勒流形非常感兴趣。他们想知道自然界中物质和力之间是否存在对称性，即“超对称性”。但如果真的存在，超对称性必然会在我们的宇宙中遭到严重破坏。同时，对于数学家来说，四元数从来没有真正失去过光芒。“从汉密尔顿创造四元数的那一刻起，每个人，包括他的兄弟，都决定建立自己的代数系统，”贝兹说。“他们中的大多数人完全没有用，但最终……他们发展了我们现在所知道的抽象代数，也就是现代代数。”今天，抽象代数研究各种数系，这些数系有各种维数和不同的性质。
第四个也是最后一个数系，是在四元数出现后不久，由汉密尔顿的朋友约翰格雷夫斯建立的，目前具有很大的潜在价值。它允许乘法模拟和相应的除法运算。一些物理学家怀疑这些奇特的八维空间“八重态”可能在基础物理中扮演重要角色。(相关阅读：《只有八维数字，才能还原宇宙的本质？》)牛津大学几何学家奈杰尔希钦(Nigel Hitchin)教授说了他的看法：“基于四元数，还有许多几何研究有待发现.但如果你想接触一个新的前沿，那将是八位字节的空间。”关注微信：多多数学网每天获取更多有趣的数学文章。新浪微博：http://weibo.com/duodaa
