先举个例子。以下公式是为适应相关应用而专门采用的表达式，其中要求解的一元函数为x(t)，(阻尼系数)和(固有角频率)为常数，f(t)为关于t的已知函数。
(d /dt )x 2(d/dt)x x=f(t)
如果f(t)0，那么这个方程是齐次的。很明显，如果把(d/dt) 2 (d/dt) =a看作一个算子(或算子)，它就是线性算子。算子用于表示相应的齐次方程(f(t)0)如下
A x=0
如果x (t)和x (t)是这个齐次方程的解，那么它的线性组合k x (t) k x (t)一定也是它的解，这里k和k是任意常数。
1)齐次方程A x=0的解
求解这个齐次方程的关键是确定其解的近似形式。我们知道指数函数e ( t)的n阶导数是
(d/dt)e^(t)=e^(t)
假设上述相关齐次方程的解具有K E ( T)的形式，其中K和是常数，代入方程给出
e^(t)=k( 2 )e^(t)=0
显然，e ( t) 0，k 0(若k=0，则x(t)0，这是一个平凡解)，从而可以得到方程。
( 2 )=0
这是齐次方程A x=0的特征方程。从这个特征方程可以求出两个根和。如果这个根不重(即)，可以代入通解。
k e^(t) k e^(t)
其中k和k是待定常数。
如果特征方程的根是重根，即===-，则假设齐次方程的解具有如下形式
kte^(t)
代入等式
k(( 2 )t 2 2)e^(t)=0
显然， 2 =0，2 2=0，即KTE ( t)是方程的解。将解ke ( t)相加得到重根下的通解。
(k kt)e^(t)
现在考虑特征方程的两个复根的情况，即
=(- j( -))
代入通解ke ( t) ke ( t)
e^(-t)(k e^( jt) k e^(-jt)
其中= (-)
实际解是它的实部，即
x(t)=e^(-t)(k cos(t) k cos(t))
总结以上解决方案，可以归纳为三种情况。
1)
它是过阻尼的，没有振荡。
2)=
这是临界阻尼，没有振荡。
3)
这是欠阻尼和振荡。
此外，还有几个参数需要注意。
1)=( – ))
振荡角频率
2)=1/(2)
衰减能量时间常数
3)Q=
质量指标
Ii)非齐次方程A x=FCOS ( t)的解
将方程表示为复数，即
A x=fe^(jt)
假设这个方程有如下解
e^(jt)
其中k是一个复常数，它被代入方程
K( – j2)e^(jt)=fe^(jt)
获得k a
K=f/( – j2)
求特解。
[f/(-j2)]e^(jt]
将齐次方程的通解相加，得到非齐次方程的通解。
[f/(-j2)]e^(jt]ke^(t)ke^(t)
或者
[f/(-j2)]e^(jt](kkt)e^(t)
3)应用示例
给出了第一个二阶常系数线性齐次方程和f (t)=FCOS ( t)的具体非齐次方程的求解过程。下面对几种应用进行详细分析。
1)弹簧阻尼振动系统
这个系统遵循三个规则。
a)牛顿第二定律3354f=ma=m (d/dt) x
b)胡克定律——F=-k x
c)摩擦力——F=- v=- (d/dt)x
该方程是根据力的叠加原理得到的。
(d /dt )x (/m)(d/dt)x k/m=f(t)
其中f(t)是施加的力。
对比等式(d/dt) x 2 (d/dt) x x=f (t)可以看出，
=/(2m)
=千/米
特别是，如果f (t)=fcos ( t)(强迫振动)，其稳态振幅为
f/(( – ) 4 )
=f/(((k/m) – ) (/m) )
当= (-2)= (k/m-(/m)/2)(即共振)时，具有最大振幅。
f/(2( -))
=f/((/m)(k/m-(/m) /4))
显然，与相比越小，越接近，幅度越大。
2)激励源为F (x)=USIN ( t)的RLC串联电路
显然，它的KVL方程是
R i (1/C)i dt L(d/dt)i=Usin(t)
求两边的导数
(d/dt)I(r/l)(d/dt)I/(LC)=()
对比方程(d/dt)I2(d/dt)I=I=；有
=R/(2L)
=1/(LC)
=(表示)
类似可得到各种情况下的解，在此略。
